Sunday, February 26, 2017

Geometry Problem 1319: Hexagons, Equilateral Triangles, Centers, Midpoints

Geometry Problem. Post your solution in the comment box below.
Level: Mathematics Education, High School, Honors Geometry, College.

Details: Click on the figure below.

Geometry Problem 1319: Hexagons, Equilateral Triangles, Centers, Midpoints.

3 comments:

  1. Es relativamente sencillo verlo utilizando números complejos. Se puede continuar añadiendo capas de 6 triángulos equiláteros de la misma forma, y los triángulos formados por los puntos medios de los centros de triángulos opuestos forman un triángulo equilátero, homotético con el de la capa anterior respecto a G y con razón -2, siendo G el baricentro de los seis puntos A_k ( o de los seis B_k, o C_k, ...)

    Como diría Fermat, este recuadro es demasiado pequeño para copiar en él la demostración ...

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    1. To : Ignacio Larrosa Cañestro
      It is relatively easy to see it using complex numbers. It is possible to continue adding layers of 6 equilateral triangles in the same way, and the triangles formed by the midpoints of the centers of opposite triangles form an equilateral triangle, homothetic with the one of the anterior layer with respect to G and with reason -2, being G the centroid of the six points A_k (or the six B_k, or C_k, ...)

      As Fermat would say, this box is too small to copy the demonstration on it ...

      Above is the Google’s translation of your comment. Hope that it translate correctly.
      Can you show us how triangle formed by midpoints of centers of opposite triangles ( i.e . O14O25O36 or Q14Q25Q36) form an equilateral triangle ?

      Peter Tran

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  2. Si, el traductor de Google hizo bien su trabajo. Intentaré resumir. Considero los subíndices módulo 6, de forma que van de 0 a 5 y A_6 = A_0, por ejemplo.
    G es el baricentro de los A_k: G = Sum(A_k, k, 0, 5)/6. Entonces
    B_k = (A_k + A_{k+1})/2 + (A_k - A_{k+1})*(sqrt(3)/2)*i
    O_k = (A_k + A_{k+1})/2 + (A_k - A_{k+1})*(sqrt(3)/6)*i
    O_{k.k+3} - G = (O_k + O_{k+3})/2 - G = (1/12)((A_k + A_{k+1} + A_{k+3} + A_{k+4} - 2A_{k+2} - 2A_{k+5}) + (A_k + A_{k+3} - A_{k+1} - A_{k+4})sqrt(3)*i)
    Entonces, llamando w = (-1)^(1/3) = -1/2 + (sqrt(3)/2)*i, tenemos que
    w*(O_{k.k+3} - G) = O_{k+1.k+4} - G, w*(O_{k+1.k+4} - G) = O_{k+2.k+5} - G

    Por lo que {O_{k.k+3}, O_{k+1.k+4}, O_{k+2.k+5} es un triángulo equilátero centrado en G.

    Igualmente se obtiene

    Q_k = (B_k + B_{k+1})/2 + (B_k - B_{k+1})*(sqrt(3)/6)*i
    = A_{k+1} + (A_k - A_{k+2}(sqrt(3)/3)*i
    Los Q_{k.k+3} se definen como antes, y con lo anterior queda demostrado que forman un triángulo equilátero. Pero además se ve que
    Q_{k.k+3} - G = -2(O{k+2.k+5} - G}
    Por lo que este riángulo equilátero es homotético del anterior respecto al punto G con razón -2.

    En este documento está explicado con algo más de detalle:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/GoGeometry1319.pdf

    Y este es un applet interactivo de Geogebra:

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/GoGeometry1319.html

    Saludos/Best regards,

    Ignacio Larrosa Cañestro

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